Hace poco tuvimos que migrar un par de cuentas de correo de un hosting Godaddy a otro Godaddy, (cpanel a cpanel) y lo que tuvimos que hacer fue descargar la carpeta etc y mail de las cuentas a migrar que se encuentra dentro de tus archivos de la pagina principal donde esta public html por via FTP.
Despues el dominio debe estar correctamente apuntado por DNS al nuevo servidor destino donde tendrás y almacenarás estas cuentas de correo.
Posteriormente en el nuevo hosting con cpanel, subir las mismas carpetas que descargaste en su respectivo folder etc y mail por via FTP también.
Cpanel automáticamente deberá reconocer estas cuentas, previamente tu dominio deberá estar bien parqueado a este nuevo host, es importante no saltarse ese primer paso de lo contrario el dominio no recibirá ni enviará correos al nuevo hosting que acabas de migrar.